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Resumen: En esta charla nos concentraremos en la siguiente pregunta : ¿Cuál es el decaimiento máximo que puede tener una solución de una ecuación de evolución (no hiperbólica) ? Revisaremos resultados conocidos para la ecuación generalizada de la ecuación de Korteweg-de Vries:
∂t u + ∂x3 u + uk∂x u = 0, x, t ∈ R,
la ecuación de Camassa-Holm:
∂t u + 3u∂x u − ∂t ∂x2 u = 2∂x u∂x2 u + u∂x3 u, t, x ∈ R,
y ecuaciones de tipo Schrödinger. Veremos como en este caso la respuesta a nuestra pregunta se reduce a un problema clásico de análisis armónico.
Resumen: I will discuss the asymptotic behavior of perturbations of transition front solutions arising in Cahn-Hilliard equations and systems on R and Rn. Such equations arise naturally in the study of phase separation processes, where a two-phase process can often be modeled by a Cahn-Hilliard equation, while a process with more than two phases can be modeled by a Cahn-Hilliard system. When a Cahn-Hilliard equation or system is linearized about a transition front solution, the linearized operator has an eigenvalue at 0 (due to shift invariance), which is not separated from essential spectrum. In many cases, it's possible to verify that the remaining spectrum lies on the negative real axis, so that stability is entirely determined by the nature of this leading eigenvalue. Working primarily in the case of a single equation on R, I will discuss the nature of this leading eigenvalue and also the verification that spectral stability (defined in terms of an appropriate Evans function) implies phase-asymptotic stability. Results for scalar and multidimensional systems will be summarized.
Resumen: En este coloquio voy a discutir problemas en la producción de energı́a en plasmas de fusión en tokamaks, en particular, en el contexto del projecto ITER, que es una gran colaboración iternacional en la que participan China, Estados Unidos, India, Japón, Korea, Rusia, y la Unión Europea. El propósito de este proyecto es construir un tokamak que es mucho más grande que los existentes. Actualmente está siendo construido en Cadarache, en el sur de Francia. Si este proyecto tiene éxito va a proveer una alternativa creı́ble al uso de combustibles fósiles, en una gran escala y de manera amigable con el medio ambiente. En el contexto del proyecto ITER existe actualmente un gran interés en la comunidad de matemáticas aplicadas por problemas planteados por plasmas de fusión en tokamaks, en particular, en el calentamiento de plasmas mediante ondas electromagnéticas. El uso de ondas electromagnéticas es también importante en reflectometrı́a, esto es en el problema inverso de obtener información sobre los parámetros del plasma, densidad, etc. Voy a presentar resultados recientes en el calentamiento de plasmas en la presencia de resonancias hı́bridas. El objetivo es obtener métodos matemáticos que permitan calcular el calor transmitido al plasma por las ondas electromagnéticas con precisión y que tengan una robusta implementación numérica. El problema matemático consiste en el estudio de ecuaciones de Maxwell degeneradas en medios no-homogéneos y anisotrópicos que no están en las clases que pueden ser analizadas con las teorı́as standard. Fue necesario considerar ecuaciones singulares de tercera clase. Un tipo similar de ecuaciones fue estudiado por D. Hilbert y E. Picard al principio del siglo pasado, y por algunos autores posteriormente. Estas contribuciones originales a la teorı́a de las ecuaciones integrales es de interés independiente y probablemente tendrá aplicaciones en otras áreas de ciencia e ingenierı́a.
Resultados obtenidos en colaboración con Bruno Després, Laboratoire J.L. Lions, Université de Paris 6 y Lise-Marie Imbert-Gérard, Courant Institute of Mathematical Sciences.
Resumen: En los últimos años se ha prestado atención considerable al papel de las funciones de onda esferoidales prolatas (PSWFs) introducidas en los años sesenta por D. Slepian y H. Pollak. Las PSWFs y sus aplicaciones a los fenómenos de onda modelados, la dinámica de fluidos y el diseño de filtros jugaron un papel clave en este desarrollo. En esta charla, introduciremos las Señales de Onda Esferoidales Prolatas Cuaterniónicas (PSQWSs), que generalizan y refinan las PSWFs. Las PSQWSs son ideales para estudiar algunas cuestiones acerca de la relación entre las funciones cuaterniónicas y sus transformadas de Fourier. Demostraremos que las PSQWSs son ortogonales y completas sobre dos intervalos distintos: el espacio de las funciones cuadrado integrables en un intervalo finito y el espacio Paley-Wiener tridimensional de las funciones de banda limitada. Se sabe que ningún otro sistema de funciones ortogonales clásicas posee esta propiedad. Ilustraremos cómo aplicar las PSQWSs juntamente con la transformada de Fourier cuaterniónica para analizar el problema de concentración de energía de Slepian. Como una aplicación, calcularemos las PSQWSs restringidas en frecuencia a la esfera unitaria. La representación de estas funciones en términos de funciones monogénicas esféricas (en el sentido del operador generalizado de Cauchy-Riemann) estén dadas explícitamente y de ahí se pueden derivar varias propiedades fundamentales.
Resumen: Winding numbers are the archetypical examples of topological invariants. Fritz Noether already proved an index theorem for them by constructing an associated Fredholm operator. In this talk, it is shown how to build a finite dimensional self-adjoint matrix such that its signature is the winding number. This theorem has has far fetching generalizations and many applications, for example in the physics of topological insulators. This is based on joint work with Terry Loring.
Resumen: For N extended charges with smooth charge densities, the initial value problem for the coupled system of Maxwell's and Lorentz's equations is mathematically well-understood. This is not the case for point-like charges. A well-known obstacle is the ill-defined self-interaction term which has to be renormalized. In a joint work with Hartenstein (LMU) we have discovered yet another obstacle which is the formation of singular light fronts in the Maxwell fields for generic initial data. Due to this phenomenon, we show that the initial value problem of the Maxwell-Lorentz system is ill-posed when aiming at smooth solutions. In the case of extended charges this phenomenon persists in a smoothened form and may lead to arguably doubtful solutions. In order to rule out such fronts, we show that a compatibility condition between the actual trajectories of the charges and the initial fields has to be met. As a consequence of restricting to solutions that obey this condition, the Maxwell-Lorentz equations of motions effectively turn into a class of delay differential equations such as the Fokker-Schwarzschild-Tetrode equation. I will report on the mathematical obstacles and results concern this class of delay equations.
Resumen: Mi charla se concentrará en un par de "paradojas": una clásica y una cuántica. La primera, debida a J. M. Parrondo, se origina en consideracion de termodinámica (R. Feynman) y convertida ahora en algo que se puede entender al nivel de un curso introductorio de álgebra lineal. La segunda aparece en el trabajo "Quantum recurrence of a subspace and operator valued Schur functions", Comm. Math. Physics, J. Bourgain, F. A. Grünbaum, L. Velázquez y J. Wilkening (2014). Haré un esfuerzo por presentar este resultado usando sólo herramientas básicas de análisis. Si el tiempo lo permite, mencionaré otras "paradojas" incluyendo una versión cuántica de alguna de las ideas de Parrondo.
Resumen: La teoría de las ecuaciones dispersivas no lineales ha visto un desarrollo espectacular en los últimos 35 años. En los últimos 25 años ha habido un gran interés en el comportamiento para grandes tiempos de soluciones “grandes”. Problemas como el de explosion en tiempo finito, existencia global y “scattering”, o mas generalmente el estudio del comportamiento asintótico, han sido investigados muy intensamente. En esta charla nos concentraremos en el caso de la ecuación de ondas, critica para la energia. Daremos un panorama general del progreso obtenido en los últimos 10 años, culminando con los trabajos recientes demostrando la resolución en ondas viajeras (“soliton resolution conjecture”).
El Coloquio Interinstitucional de Análisis y sus Aplicaciones ha recibido apoyo del proyecto PAPIME PE100716.